【回路】ヒルベルト変換する

なんでかやった事のないヒルベルト変換をしてみるなり．

ヒルベルト変換とはこうゆうことのようだ．

狭義のヒルベルト変換：　原波形の９０度位相のずれた波形を作ること

ヒルベルト変換の広義・応用：

　・原波形を複素時間領域表現できるようになる

　・包絡線を綺麗に計算できる（AM復調）

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まずは、９０度位相変換をFIRフィルタでやってみる．

↓最初に、100行のtext fileに、gain=1、phase=90°の数字を並べる．

↓これを逆フーリエ変換するとFIRのタップ係数(100タップ)を得る．このFIRは90度移相フィルタに他ならない．

このタップ形状は、ヒルベルト変換のインパルス応答として知られるものと同じである．

このFIRフィルタに原信号ｘを通すと90°移相されたｘ９０を得られる．

　ｘ９０ ＝ FIR(ｘ）

適当に生成したｘと、ｘ９０をグラフにするとこうなる↓　（なんかへんかも）

つぎに包絡線を考える．

原信号の複素表現をｚとする、

　ｚ　＝　ｘ　＋　ｊｘ９０　＝　A(t) e ^ｊθ(t)

包絡線Aは複素数の大きさなので、

　A　＝　√（ｘ＊ｘ ＋ ｘ９０＊ｘ９０）

↓それではｘとｘ９０からＡを求めてみよう．

あれぇ？　包絡線っぽいけどなんかおかしい．ビロビロしちゃってる．

これには原因がある．100tapのFIRを通すと、約50遅れのx90が出てくるので、x90は位相が遅れすぎなのだ．これを回避するには原信号ｘを50遅れさせて時刻合わせしてやればいい．

　ｘ９０ ＝ FIR(ｘ）

　ｘ’＝ delay（ｘ）

のように．

ｘ’とｘ９０からＡを求めれば正しい包絡線を得られるはずだ．（めんどくさいので割愛）

以上は前座である．

FIRで90°移相させるのをヒルベルト変換とは呼ばないんじゃないのかな？？？

結果は同じはずだけどね．

余談だが、90°移相をアナログ回路でやると精度が悪くて嫌な気分になる．アナログ回路で時間を操作するのは限界があるものだ．時間操作はデジタルでやってスカッとスッキリしようぜ．

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以下は本物のヒルベルト変換．

ヒルベルト変換の解説はこれが判りやすい．この文献に書かれたやり方でヒルベルト変換をやってみる．

ヒルベルト変換の手順はこうだ．

①原信号ｘをフーリエ変換して、Xを求める．Xは周波数領域の複素数である．

②Ｘを変形してＺを求める．Ｚも周波数領域の複素数なのは言うまでもない．

つまり、フーリエ変換出力Xの前半をReもImも強制ゼロにする．同後半を２倍する．

③Ｚを逆フーリエ変換して、ｚを求める．ｚは時間領域の複素数である．

　ｚ　＝　ｘ　＋　ｊｘ９０

ｚのReパートがｘであり、Imパートがｘ９０である．

④包絡線Aを求める．

　A　＝　√（ｘ＊ｘ ＋ ｘ９０＊ｘ９０）

操作②の意味がさっぱりわからんのだが実際にやってみよう．

↓まずはｘと、ヒルベルト変換③で求めたｘ９０の比較から．今度はちゃんと出来てる．

↓つぎは包絡線Ａを求めたもの④．綺麗な包絡線が出ました．

包絡線をGETするには便利そうなヒルベルト変換だけど、こちらのページによると、馬脚を顕す場面もあるらしい．

　１）DCを含むと上手く計算できない

　２）２周波が混ざってると上手く計算できない

NTSCのカラーバーストみたいな信号には便利に使えるけど、white noiseの包絡線は苦手なのかな．

かしこ